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初等数论(数学分支) 发布于:

初等数论是研究数的规律,特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法,主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之,初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论(用解析的方法研究数论)、代数数论(用代数结构的方法研究数论)。

古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数(如亲和数、完全数、多边形数)及特殊不定方程的研究。公元前4世纪,欧几里德的《几何原本》通过102个命题,初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明,被认为是数学证明的典范。

初等数论已经有2000年的历史,公霉舟拜元前300年,欧几里得发现了素数是数论的基石,他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来,数论学的一个最重要的任务,就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式,或者称为邀设素数普遍公式,为此,人类耗费了巨大的心血。后来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式:

公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法:

(一)“要得到不大于某个自然数n(不等于0)的所有素数,只要在2至n中将不大于

(二)将上面的内容等价转换:“如果n是合数(非0自然数),则它有一个因子d满足

(兵去愚三)再从(二)得到等价的逆否命题:“若自然数n不能被不大于

(四)上述的(三)可以用符号如此表达:

N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak (1)

其中

(五)可以把上述的式(1)用同余式组表示:

N≡a1(modp1), N≡a2(modp2),.....,N≡ak(modpk)(2)

例如,29不能够被

29≡1(mod2),29≡2(mod3), 29≡4(mod5)。29小于7=49 ,所以29是一个素数。

由于(2)的模

例如k=1时

k=2时,N=2m+1=3m+1,解得N=7,13,19;N=2m+1=3m+2,解得N=5,11,17,23。如此,求得了(5,5 )区间的全部素数。

仿此下去可以求得任意给定数以内的全部素数

(六)用程序方法求素数。“若一个自然数n,判断n/k是否整除,先殃担挨罪判断其能否整除2,若不能再判断其能否整除3,依次向下判断,当k>(n/k)时,判断结束。”如果所有判断都不能整除,则自然数N为素数。

公元3世纪,丢番图研究了若干不定方程,并分别设计巧妙解法,故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来,费马、欧拉、高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。

中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就,《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年, 西方常称此定理为中国剩余定理,秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础,也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的,如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。

初等数论有以下几部分内容:

1.整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有:唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。

2.同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果:二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理(即中国剩余定理承糠篮)等等。

3.连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。主要成果:循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。

4.不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程,比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了四次费马方程的求解问题等等。

5.数论函数。比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。

6.高斯函数。

初等数论是一个理论层次

第一个层次叫做数学概念,是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中,从感性认识上升到理性认识,把所感知的事物的共同本质特点抽象出来,加以概括,就成为概念。表达概念的语言形式是词或词组。科学概念,特别是数学概念要求更加严格,至少必须具备三个条件:专一性,精确性,可以检验。例如:”孪生素数“就是一个数学概念。

第二个层次叫做数学命题,数学命题是对一系列数学概念之间的关系作出判断的句子。一个命题要么真,要么不真(这由逻辑中的排中律保证)。真命题包含定理,引理,推论,事实等。命题既可以懂整组是存在性照尝几户命题(表述为”存在......."),也可以是全称命题(表述为“对于一切.....")。

第三个层次叫做数学理论,把方法,公式,公理,定理,原理,组合成为一个体系叫做数学理论。例如“初等数论”,由公理(例如等量公理),定理(例如费马小定理),原理(例如抽屉原理,一一对应原理),公式等组成。

在数学证明时,全称命题常常不能通过枚举法来判断真伪,这是因为数学有时面对的是无穷多个对象,永远不可能一一枚举出每一种情况。不完全归纳法在数学中是不可行的,数学只承认演绎逻辑(数学归纳法,超限归纳法等均属于演绎逻辑)。

费马在古典数论领域中的成果很多,比如提出了不定方程无解证明的无穷递降法,引入了费马数等等。

与费马相关的著名结论如下:

费马小定理:a^p-a≡0(mod p),其中p是一个素数,a是正整数。

事实上它是欧拉定理的一个特殊情况,Euler定理是说:a^φ(n)-1≡0(mod n),a,n都是正整数且互素,φ(n)是Euler函数,表示和n互素的小于n的正整数的个数。

费马大定理(当时是猜想):n>2是整数,则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程,它已经由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了(1995年),证明的过程相当艰深。

引入欧拉函数,得到著名的欧拉定理——费马小定理推广;研究了连分数展开问题;用解析方法证明了素数无限;讨论平方和问题及哥德巴赫猜想——加性数论内容。

被誉为“数学王子”。解决了正多边形尺规作图问题,将它和费马数联系起来。高斯的著作《算术研究》提出了同余理论,讨论了平方剩余问题,发现了二次互反律。高斯提出了著名的素数定理(当时是猜想),研究了指标和估计问题——表示论的雏形。


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