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不可约多项式 发布于:

在数学中,由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式(若有减法:减一个数等于加上它的相反数)。多项式中的每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高项次数,就是这个多项式的次数不可约多项式是一种重要的多项式,它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。

不可约多项式,顾名思义即不章凶束能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式 。劝故戒

有理系数的多项式,当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时,称为有理数范围内“不可约多项式”。相应地可以定义实数系数或复数系数的不可约多项式。

“不可约”的意义随系数范围而不同。X2-2在有理数范围内是不可约多项式,但在实数范围内就是可约多项式了。

一种重要的多项式。它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。对于数域P上的任意多项式f(x),P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。这两种因式称为f(x)的平凡因式,亦称当然因式。其他的因式,称为f(x)的非平凡因式,亦称非当然因式。设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式,如果在P上p(x)只有平凡因式,则称p(x)在P上(或P[x]中)不危笑牛可约,亦称p(x)是P上的不可约多项式,或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外,在P上还有其他因式,则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约,亦称p(x)是P上的可约多项式。一个多项式是否可约店凳拘埋,与其基域有关。例如,x-2在有理数域上不可约,但在实数域上可约,因为此时它有非平凡因式x+与x-。

数域P上的不可约多项式有如下的基本性质:

1。若p(x)不可约,悼体渗且c≠0,c∈P,则cp(x)也不可约。榜您

2。若p(x)不可约,f(x)是任一多项式,则(p(x),f(x))=1或者p(x)|f(x)。

3。若p(x)不可约,且p(x)|f(x)g(x),则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x) 。

爱森斯坦判别法:设

(1)p不能整除

(2)p整除

(3)

那么

注:定理1的证明通常采用 “反证法

爱森斯坦判别法的等价判别定理:设

(1)p不能整除

(2)p整除

(3)

那么f(x)在有理数域上不可约。

注:定理1和定理2 都只是判定整系数多项式在有理数域上不可约的充分不必要条件, 这就是说不满足定理1和定理2的判定条件的多项式可能是不可约的。

1

2

3、(1) p(x)不可约,则对任意的f,g∈

(2)аp>0,对任意f,g∈

例1。若p为质数,求证有乐艰协乃理系数多项式

证明:

因为P为质数,整系数多项式

若m,n为自然数,且m,求证不是任意m次整系数多项式的根。

证明:根据爱森斯坦判别法可知,多项式

因为

即多项式f(x),g(x)没有公共根,所以


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