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套利定价理论 发布于:

套利定价理论APT(Arbitrage Pricing Theory) 是CAPM的拓广,由APT给出的定价模型与CAPM一样,都是均衡状态下的模型,不同的是APT的基础是多因素模型。

套利定价理论认为,套利行为是现代有效率市场(即市场均衡价格)形成的一个决定因素。如果市场未达到均衡状态的话,市场上就会存在无风险套利机会。 并且用多个因素来解释风险资产收益,并根据无套利原则,得到风险资产均衡收益与多个因素之间存在(近似的)线性关系。 而前面的CAPM模型预测所有证券的收益率都与唯一的公共因子(市场证券组合)的收益率存在着线性关系。

套利定价理论导出了与资本资产定价模型相似的一种市场关系。套利定价理论以收益率形成过程的多因子模型为基础,认为证券收益率与一组因子线性相关,这组因子代表证券收益率的一些基本因素。事实上,当收益率通过单一因子(市场组合)形成时,将会发现套利定价理论形成了一种与资本资产定价模型相同的关系。因此,套利定价理论可以被认为是一种广义的资本资产定价模型,为投资者提供了一种替代性的方法,来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系。套利定价理论与现代资产组合理论、资本资产定价模型、期权定价模型等一起构成了现代金融学的理论基础。

套利定价理论的出发点是假设证券的回报率与未知数量的未知因素相联系。

因素模型是一种统计模型。套利定价理论是利用因素模型来描述资产价格的决定因素和均衡价格的形成机理的。这在套利定价理论的假设条件和套利定价理论中都清楚的体现出来。

线性多因素模型的一般表达为:

(1)r = a + B * F + ε

其中:

r代表N种资产收益率组成的列向量.

F代表K种因素组成的列向量

a是常数组成列向量

B是因素j对风险资产收益率的影响程度,称为灵敏度(sensitivity)/因素负荷(factor loading). 组成灵敏度矩阵.

ε是随机误差列组成的列向量.并要求:

(2)

定义:对于一个有N个资产,K种因素的市场,如果存在一个证券组合,使得该证券组合对某个因素有着单位灵敏度,而对其他因素有着零灵敏度. 那么该证券组合被称为纯因素证券组合.

rf是无风险收益率,λ每单位灵敏度的某因素的预期收益溢价.

纯因素证券组合不只一种,那么这些不同的证券组合,是否会产生同样的期望收益呢?答案是肯定的,这就涉及到无套利均衡。

二、无套利均衡(no arbitrage equilibrium)

套利和无套利是现代金融的最基本的概念之一.

定义: 套利机会(Arbitrage Opportunity)

存在一个交易策略,满足以下4个条件:

1)不需要任何投入,自我融资(self-financing)

lwA = 0 (7)

2)对所有因素风险完全免疫

BwA = 0 (8)

3)对所有非因素风险完全免疫

4)当资产数目足够多时,期末可以获得无风险收益

无套利原理:在市场均衡时刻,不存在任何套利机会.

无套利原理已经成为了现代金融学的基本假设,今后的微观金融学笔记将会反复讨论这个概念.

1976年,美国学者斯蒂芬·罗斯在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”,提出了一种新的资产定价模型,此即套利定价理论(APT理论)。套利定价理论用套利概念定义均衡,不需要市场组合的存在性,而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。

与资本资产定价模型一样,套利定价理论假设:

1.投资者有相同的投资理念;

2.投资者是非满足的,并且要效用最大化;

3.市场是完全的。

与资本资产定价模型不同的是,套利定价理论没有以下假设:

1.单一投资期;

2.不存在税收;

3.投资者能以无风险利率自由借贷;

4.投资者以收益率的均值和方差为基础选择投资组合。

套利定价理论的基本机制是:在给定资产收益率计算公式的条件下,根据套利原理推导出资产的价格和均衡关系式。APT作为描述资本资产价格形成机制的一种新方法,其基础是价格规律:在均衡市场上,两种性质相同的商品不能以不同的价格出售。套利定价理论是一种均衡模型,用来研究证券价格是如何决定的。它假设证券的收益是由一系列产业方面和市场方面的因素确定的。当两种证券的收益受到某种或某些因素的影响时,两种证券收益之间就存在相关性。

假设有三种证券,它们都服从单因素模型,因素是F。它们的期望收益率 和关于因素F 的敏感度bi 都列在表中:投资者总资产是1500 万元,三种证券的组合p

即每一种证券都投资500 万元。这一组合未必是一个最优的组合。

证券i

bi

1

15 %

0.9

2

21 %

3.0

3

12 %

1.8

投资者对上述组合p 作改变,记Δxi 是投资于证券si的比例的改变量,亦即改变后的组合是:

并且Δx1 , Δx2 , Δx3必须满足下列要求,亦即满足下列套利原理:

(1) Δx1 + Δx2 + Δx3 = 0 ,这表示投资者总投资额不变,既没有增加投资的总资金,也没有从原有投资总额中抽回部分资金。

(2) b1Δx1 + b2Δx2 + b3Δx3 = 0 ,这表示改变后的组合P′的因素风险不变,它与组合p 的因素风险相同。

(3) ,这表示由于这一改变会增加期望收益率,或者说改变后的组合p′的期望收益率高于原来的期望收益率 ,我们称上述组合(Δx1x2x3) 是套利组合,投资者能够利用这一组合进行套利。

由上面的(1) 和(2) ,需要解一个齐次方程组:

将左端含有Δx1的项移到右端:

将Δx1 看作参数,解上述非齐次方程组得:

由此我们便得到下面的结论:若取Δx1 > 0 ,那么Δx2 > 0 ,Δx3 < 0 ,这表明必须减少对证券3 的投资,增加对证券1 和证券2 的投资。再由(3) , Δx1x2x3还须满足:

= 9.75Δx1 > 0

很显然Δx1 必须大于0 ,这表示改变后的组合可多获得的期望收益率为9.75%Δx1,在不允许卖空证券的情形下,减少证券3 的投资,至多减少投资于证券3 的比例是0 ,这样我们又得到一个不等式:

即:

综上所述,

时增加的期望收益率最大,这时套利组合,

增加的期望收益率是:

9.75Δx1% = 1.86%

此结果表示,投资者如果改变原来的组合,

改变的量是套利组合(),

改变后的组合是,亦即改变后投资于证券1 和证券2的资金分别是:

(万元)

(万元)

投资于证券3 的资金为0 ,这样做的结果比原先的组合p 增加期望收益率1.86 % ,而因素风险不变,投资者套利成功。

在一个均衡的市场中套利现象不会发生,套利组合成为(0 ,0 ,0) ,或者套利一旦发生将会迅速消失,最后各个证券将在市场中找到自己的合适位置,在市场调节下,它的期望收益率既不会过高也不会过低,满足一个均衡状态下的方程式:

式中,rf是无风险利率,λ是因素F 的单位风险溢酬。该方程即是APT定价模型。

假设一:无摩擦的市场.

假设二:无操纵市场.

假设三: 无制度限制.

这些关于理想化资本市场的三个假定与资本资产定价模型中的要求是一致的.

假设四: 资产收益由因素模型决定.

假设五: 同质预期

假设六: 市场上存在无风险资产

假设七: 满足无套利原理

定理:(套利定价)假定风险资产收益满足上面的因素模型,并且不存在套利机会.则存在使得下式成立:

(11)

(12)

这里就不给具体证明,后面的笔记中将会提及更一般的资本资产定价理论.

证明思路:

试图构造一个套利组合.该组合自然首先要满足:

式(7),式(8),式(9)

再考虑式(10)对应的逆命题对应(就是无套利原理):

(13)

如果式(7),式(8),式(13)同时成立,表明当时:

l(列向量),B(K个列向量),a(列向量)都和wA正交.

根据线性代数里的结论我们知道:

a可以表示为[1 B]这(K+1)个列向量的线性组合.

即,当时,存在:

(14)

APT和CAPM

1.套利定价模型(APT)跟资本资产定价模型(CAPM)一样,是证券价格的均衡模型。

2. APT比CAPM需要更少的限制性的假设。

3. APT与CAPM的作用十分相似。它可以作为公平收益率,因此可用于资本预算、证券估价或投资业绩评估。并且,套利定价理论还可以说明两种风险之间更严格的区别:不可分散风险(系统风险)要求风险溢价形式的回报,而可分散风险则没有这样的回报要求。

凯恩斯选美论

选美论是由英国著名经济学家约翰·梅纳德·凯恩斯(John Maynard Keynes)创立的关于金融市场投资的理论。凯恩斯用 “选美论”来解释股价波动的机理,认为金融投资如同选美,投资人买入自己认为最有价值的股票并非至关重要,只有正确地预测其他投资者的可能动向,才能在投机市场中稳操胜券,并以类似击鼓传花的游戏来形容股市投资中的风险。

随机漫步理论(Random Walk Theory)

1959年,奥斯本(M.F.M Osborne)提出了随机漫步理论,认为股票交易中买方与卖方同样聪明机智,现今的股价已基本反映了供求关系;股票价格的变化类似于化学中的分子“布朗运动”,具有随机漫步的特点,其变动路径没有任何规律可循。因此,股价波动是不可预测的,根据技术图表预知未来股价走势的说法,实际上是一派胡言。

现代资产组合理论(MPT)

1952年,美国经济学家马可维茨(Harry M.Markowit)在他的学术论文《资产选择:有效的多样化》中,首次应用资产组合报酬的均值和方差这两个数学概念,从数学上明确地定义了投资者偏好,并以数学化的方式解释投资分散化原理,系统地阐述了资产组合和选择问题,标志着现代资产组合理论(Modern Portfolio Theory,简称MPT)的开端。该理论认为,投资组合能降低非系统性风险,一个投资组合是由组成的各证券及其权重所确定,选择不相关的证券应是构建投资组合的目标。它在传统投资回报的基础上第一次提出了风险的概念,认为风险而不是回报,是整个投资过程的重心,并提出了投资组合的优化方法,马可维茨因此而获得了1990年诺贝尔经济学奖。

有效市场假说(EMH)

1965年,美国芝加哥大学金融学教授尤金·法玛(Eugene Fama),发表了一篇题为《股票市场价格行为》的论文,于1970年对该理论进行了深化,并提出有效市场假说(Efficient Markets Hypothesis,简称EMH)。有效市场假说有一个颇受质疑的前提假设,即参与市场的投资者有足够的理性,并且能够迅速对所有市场信息作出合理反应。该理论认为,在法律健全、功能良好、透明度高、竞争充分的股票市场,一切有价值的信息已经及时、准确、充分地反映在股价走势当中,其中包括企业当前和未来的价值,除非存在市场操纵,否则投资者不可能通过分析以往价格获得高于市场平均水平的超额利润。

有效市场假说提出后,便成为证券市场实证研究的热门课题,支持和反对的证据都很多,是最具争议的投资理论之一。尽管如此,在现代金融市场主流理论的基本框架中,该假说仍然占据重要地位。

2013年10月14日,瑞典皇家科学院宣布授予美国经济学家尤金·法玛、拉尔斯·皮特·汉森以及罗伯特·J·席勒该年度诺贝尔经济学奖,以表彰他们在研究资产市场的发展趋势采用了新方法。

瑞典皇家科学院指出,三名经济学家“为资产价值的认知奠定了基础”。几乎没什么方法能准确预测未来几天或几周股市债市的走向,但可以通过研究对三年以上的价格进行预测。

“这些看起来令人惊讶且矛盾的发现,正是今年诺奖得主分析作出的工作”,瑞典皇家科学院说。

值得一提的是,尤金·法玛和罗伯特·席勒持有完全不同的学术观点,前者认为市场是有效的,而后者则坚信市场存在缺陷,这也从另一个侧面证明,至今为止人类对资产价格波动逻辑的认知,还是相当肤浅的,与我们真正把握其内在规律的距离,仍然非常遥远!

行为金融学(BF)

1979年,美国普林斯顿大学的心理学教授丹尼尔·卡纳曼(Daniel Kahneman)等人发表了题为《期望理论:风险状态下的决策分析》的文章,建立了人类风险决策过程的心理学理论,成为行为金融学发展史上的一个里程碑。

行为金融学(Behavioral Finance,简称BF)是金融学、心理学、人类学等有机结合的综合理论,力图揭示金融市场的非理性行为和决策规律。该理论认为,股票价格并非只由企业的内在价值所决定,还在很大程度上受到投资者主体行为的影响,即投资者心理与行为对证券市场的价格决定及其变动具有重大影响。它是和有效市场假说相对应的一种学说,主要内容可分为套利限制和心理学两部分。

由于卡纳曼等人开创了“展望理论”(Prospect Theory)的分析范式,成为二十世纪80年代之后行为金融学的早期开拓者,瑞典皇家科学院在2002年10月宣布,授予丹尼尔·卡纳曼等人该年度诺贝尔经济学奖,以表彰其综合运用经济学和心理学理论,探索投资决策行为方面所做出的突出贡献。

现今成型的行为金融学模型还不多,研究的重点还停留在对市场异常和认知偏差的定性描述和历史观察上,以及鉴别可能对金融市场行为有系统影响的行为决策属性。

大致可以认为,到1980年,经典投资理论的大厦已基本完成。在此之后,世界各国学者所做的只是一些修补和改进工作。例如,对影响证券收益率的因素进行进一步研究,对各种市场“异相”进行实证和理论分析,将期权定价的假设进行修改等等。


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