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整数(数学名词) 发布于:

整数(integer)是正整数、零、负整数的集合。

整数的全体构成整数集,整数集是一个数环。在整数系中,零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…(n为非零自然数)为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。

如果不加特殊说明,所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。

我们以0为界限,将整数分为三大类:

1. 正整数,即大于0的整数如,1,2,3······直到

2. 零,既不是正整数,也不是负整数,它是介于正整数和负整数的数。

3. 负整数,即小于0的整数如,-1,-2,-3······直到

注:零和正整数统称自然数。

整数也可分为奇数和偶数两类。

正整数

它是从古代以来人类计数的工具。可以说,从“1头牛,2头牛”或是“5个人,6个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。

零不仅表示“没有”(“无”),更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(Sunya)字,其原意也是“空”或“空白”。

负整数

中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”,就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程

整数中,能够被2整除的数,叫做偶数。不能被2整除的数则叫做奇数。即当n是整数时,偶数可表示为2n(n 为整数);奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。

偶数包括正偶数(亦称双数)、负偶数和0。所有整数不是奇数,就是偶数。

在十进制里,我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数:个位为1,3,5,7,9的数为奇数;个位为0,2,4,6,8的数为偶数。

下表给出整数加法和乘法的基本性质。(即对任何整数a,b和c成立)

性质

加法

乘法

封闭性

结合律

交换律

存在单位元

存在逆元

在整数集中,只有1或 -1关于乘法存在整数逆元

1是任何数的约数,即对于任何整数,总有1|

0是任何非零数的倍数,

1. 若一个数的末位是单偶数,则这个数能被2整除。

2. 若一个数的所有数位上的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。

3. 若一个数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。

4. 若一个数的末位是0或5,则这个数能被5整除。

5. 若一个数能被2和3整除,则这个数能被6整除。

6. 若一个数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:

7. 若一个数的末尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。

8. 若一个数的所有数位上的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。

9. 若一个数的末位是0,则这个数能被10整除。

10. 若一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理。过程唯一不同的是:倍数不是2而是1。

11. 若一个数能被3和4整除,则这个数能被12整除。

12. 若一个数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,则重复「截尾、倍大、相加、验和」的过程,直到能清楚判断为止。

13. 若一个数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,同样重复之前的过程,直到能清楚判断为止。

14. 若一个数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,同样重复之前的计算思路,直到能清楚判断为止。

15. 若一个数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。

16. 若一个数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。

17. 若一个数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除

1. 奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数,奇数×奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数,奇数个奇数的和、差为奇数,偶数个奇数的和、差为偶数;

2. 奇数的平方都可以表示成

3. 若有限个整数之积为奇数,则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数,则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;一个整数的平方根若是整数,则两者具有相同的奇偶性。

为什么用

1920年,她已引入“左模”,“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。其中,诺特在引入整数环概念的时候(整数集本身也是一个数环),她是德国人,德语中的整数叫做Zahlen,于是当时她将整数环记作Z,从那时候起整数集就用


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