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裴蜀定理 发布于:

在数论中,裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理,裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

裴蜀定理说明了对任何整数 a、b和它们的最大公约数 d ,关于未知数 x以及 y 的线性的丢番图方程(称为裴蜀等式)。

裴蜀定理(或贝祖定理)得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性不定方程(称为裴蜀等式)多页户页促:若a,b是整数,且gcd(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一局酷删婚定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。

它的一个重要推论是:a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

证法一:

设s为ax+by最小正值,令

可见

由于

由于

因此有

因为d|a,d|b,且s是a与b的一个线性组合,所以由整除性质知d|s。

但由于d|s和s

由①②得d=s,命题得证

证法二:

⑴若b=0,则(a,b)=a.这时定理显然成立。

⑵若a,b不等于0.

记d = (a, b), 对ax + by = d,两边同时除以d,可得(a1)x + (b1)y = 1,其中(a1,b1) = 1。

转证(a1)x + (b1)y = 1。由带余除法:

① (a1) = (q1)(b1) + (r1), 其中0 < r1 < b1

② (b1) = (q2)(r1) + (r2), 其中0 < r2 < r1

③ (r1) = (q3)(r2) + (r3), 其中0 < r3 < r2

.....

④ (rn-4) = (qn-2)(rn-3) + (rn-2)

⑤ (rn-3) = (qn-1)(rn-2) + (rn-1)

⑥ (rn-2) = (qn)(rn-1) + (rn)

⑦ (rn-1) = (qn+1)(rn) + 1

故,由⑦和⑥推出(rn-2)An-2 + (rn-1)Bn-1 = 1

再结合承讲嘱⑤推出(rn-3)An-3 + (rn-2)Bn-2 = 1

再结合④推出(rn-4)An-4 + (rn-3)Bn-3 = 1

.....

再结合③推出(r1)A1 + (r2)B2 = 1

再结合②推出(b1)A0 + (r1)B0 = 1

再结合①推出(a1)x + (b1)y = 1

得证。

不定方程 例题:求不定方程

解:

设a1,a2,a3......an为n个整数,d是它们的最大公约数,那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=d。

特别来说,如果a1...an存在任意两个数是互质的(不必满足两两互质),那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=1。证法类似两个数的情况。

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环A是主理想环,a和b 为环中元素,d是它们的一个最大公约元,那么存在环中元素x和y使得:

ax + by = d

这是因为在主理想环中,a和b的最大公约元被定义为理想aA + bA的生成元。

在数论中,裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴淋拘尝蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对腊料凶任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):

ax + by = m

有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解x、y都称为裴蜀数,可用辗转相除法求得。

例如,12和42的最大公因子是6,则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1) × 42 = 6。

特别来说,方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义:d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀肯兆辨纹定理。

历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀,而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》第二版中给出了问题的描述和证明[1]。

然而,裴蜀推广了梅齐里亚克的结论,特别是探讨了多项式中的裴蜀等式,并给出了相应的定理和证明[2]。

对任意两个整数a、b设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):

ax + by = m

有整数解(x,y)当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

理想 (环论)

欧几里德整环

欧几里德引理

主理想环

整除

^ 原版的网上版本(法文)

^ 证明的网上版本(法文)

闵嗣鹤、严士健,初等数论,高等教育出版社,2003。

唐忠明,抽象代数基础,高等教育出版社,2006。

Algebraic curves ,2008版,Chapter5.3。

以上定理可推广到n个,n≥2

如1st IMO 1959第1题:证明对任意自然数n,(21n+4)/(14n+3)为既约分数。证明:很容易看出3(14n+3)-2(21n+4)=1,由裴蜀定理,21n+4与14n+3互质,故(21n+4)/(14n+3)为既约分数。Q.E.D.

另如:5x+4y+3z可表示全部整数.因为3,4,5互质,所以5x+4y+3z可以等于1,则必定可以等于其他任意整数。


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